\section{DC-motor}\label{modellering-DC-motor}
For at beskrive en DC-motor fyldestgørende, er det nødvendigt med en elektrisk og en mekanisk model af motoren. En elektrisk model af DC-motoren består af en spole, en modstand og en vinkelhastighedsafhængig spændingsgenerator.
\begin{figure}[H] %Elektrisk ækvivalent for en DC-motor.
\centering
\includegraphics{billeder/modellering/elektriskaekvivalent.pdf}
\caption{Elektrisk ækvivalent for en DC-motor.}
\label{fig:dc-motor-elektrisk}
\end{figure}
Ud fra figur \ref{fig:dc-motor-elektrisk} er der opsat et udtryk for motorens elektriske ækvivalent givet ved ligning \eqref{eq:elektriskDCstart}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\label{eq:elektriskDCstart}
u_{\text{e}}(t) = R_{\text{e}} \cdot i_{\text{e}}(t) + L_{\text{e}} \dot{i_{\text{e}}}(t) + K_{\text{e}} \cdot \omega_{\text{e}}(t)
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $u_\text{e}(t)$ er spændingen over motoren [V]\\
\> $R_\text{e}$ er motorens modstand [$\Omega$]\\
\> $i_\text{e}(t)$ er strømmen gennem motoren [A]\\
\> $L_\text{e}$ er motorens spolevirkning [H]\\
\> $K_\text{e}$ er motorens momentkonstant [V$\cdot$s]\\
\> $\omega_\text{e}(t)$ er motorens vinkelhastighed [$\rhas$]\\
\end{tabbing}
Der er i motorenes datablad opgivet størrelsen af $K_\text{e}$ og $R_\text{e}$. Der er videre i rapporten set bort fra motorens elektriske tidskonstant, da den for denne type systemer er ubetydelig i forhold til systemets mekaniske tidskonstant \citep{modelnote}. Der vil videre i rapporten arbejdes med en elektrisk model for DC-motorne, hvor der er set bort fra induktionsbidraget, som vist i formel \eqref{eq:forkortetdcelek}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
u_{\text{e}}(t) = R_{\text{e}} \cdot i_{\text{e}}(t) + K_{\text{e}} \cdot \omega_{\text{e}}(t) \label{eq:forkortetdcelek}
\end{IEEEeqnarray}
Formel \eqref{eq:forkortetdcelek} kan omskrives, så strømmen gennem motoren, udtrykkes som en funktion af spændingen over den, hvilket er vist i formel \eqref{eq:elektriskDCendelig}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
i_{\text{e}}(t) = \frac{u_{\text{e}}(t)-K_{\text{e}} \cdot \omega_{\text{e}}(t)}{R_{\text{e}}} \label{eq:elektriskDCendelig}
\end{IEEEeqnarray}
Formel \eqref{eq:elektriskDCendelig} vil i afsnit \ref{modellering-DC-motor-mekaniskModel} blive brugt til at finde et udtryk for motorens vinkelhastighed som funktion af spændingen over motoren.

\subsection{Mekanisk model}\label{modellering-DC-motor-mekaniskModel}
Udover en model for motorens elektriske egenskaber er det nødvendigt med en model, der beskriver motorens mekaniske egenskaber. Figur \ref{fig:dc-motor-mekanisk} er et fritlegeme diagram der viser momenter der påvirker motoren.
\begin{figure}[H] %Fritlegeme diagram for DC-motor
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{billeder/modellering/samletfritlegeme.pdf}
\caption{Fritlegeme diagram for DC-motor.}
\label{fig:dc-motor-mekanisk}
\end{figure}
Ved brug af figur \ref{fig:dc-motor-mekanisk} er der opstillet en ligning for hvilke krafter, der påvirker DC-motorens fremdrift, som er vist i ligning \eqref{eq:mekaniskDCendelig}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 J_{\text{m}} \cdot \dot{\omega}_{\text{e}}(t) = \tau_{\text{m}}-\tau_{\text{b}}-\tau_{\text{f}}(\omega_{\text{e}}(t),\tau_{\text{m}}-\tau_{\text{b}}) \label{eq:mekaniskDCendelig}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\tau_{\text{b}}$ er momentet belastningen yder på motoren [N$\cdot$m]\\
\> $\tau_{\text{m}}$ er motorens moment [N$\cdot$m]\\
\> $\tau_{\text{f}}(\omega_{\text{e}}(t),\tau_{\text{m}}-\tau_{\text{b}})$ er det samlede friktionsmoment [N$\cdot$m]\\
\> $J_{\text{m}}$ er motorens inertimoment [kg$\cdot  \text{m}^{2}$]\\
\end{tabbing}
Motorens friktionsmoment vil blive behandlet i to dele; coulombfriktion og viskose friktion. Coulombfriktion forskyder nulpunktet for motorens moment. Viskose friktionen er den friktion, der er afhængig af hastigheden.

Motorens moment er direkte afhængigt af strømmen gennem motoren og motorens momentkonstant og kan derfor skrives som i ligning \eqref{eq:mekaniskTauM}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
\label{eq:mekaniskTauM}
\tau_{\text{m}}=K_\text{e}i_{\text{e}}(t)
\end{IEEEeqnarray}
Det er derfor muligt ved at kombinere formel \eqref{eq:elektriskDCendelig} og \eqref{eq:mekaniskDCendelig} at få udtrykt motorens vinkelhastighed som funktion af spændingen over motoren.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 J_{\text{m}} \cdot \dot{\omega}_{\text{e}}(t) &=& K_{\text{e}} \frac{u_{\text{e}}(t)-K_{\text{e}} \cdot \omega_{\text{e}}(t)}{R_{\text{e}}} - \tau_{\text{b}} -(B_{\text{v,m}} \cdot \omega_{\text{e}}(t) + sgn(\omega_{\text{e}}(t)) \cdot \tau_{c}) \label{eq:mekaniskendelig}
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $B_{\text{v,m}}$ er motorens viskose friktionskoefficient  [$\nicefrac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m}}$]\\
\>  $\tau_{c}$ er coulombfriktionsmomentet [N$\cdot$m]\\
\end{tabbing}
Formel \eqref{eq:mekaniskendelig} vil blive behandlet videre i rapporten, hvor der skal ses på friktionsmoment og belastningens betydning. Tidsafhængighedsnotationen er videre i rapporten undladt.